# MSA 4 — Linearität (Verfahren 4)
Die MSA Methode 4 (**Verfahren 4** oder **Linearitätsstudie**) prüft, ob die systematische Messabweichung (Bias) eines Messsystems über den **gesamten Messbereich** konstant bleibt. Während Verfahren 1 den Bias an *einem* Punkt bewertet, untersucht Verfahren 4 mehrere Referenznormale, die den Arbeitsbereich des Messgeräts abdecken.
my8data kombiniert dabei zwei in der Praxis etablierte Bewertungen: das **Regressionsverfahren nach AIAG MSA (4th Edition)** und die **mehrfache Anwendung von Verfahren 1 nach Bosch Heft 10**. Das Gesamturteil entspricht dem kombinierten Bosch-Formblatt-Urteil „(min, t-T)".
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## Übersicht
### Zweck und Einsatzgebiet
Verfahren 4 beantwortet die Frage: **Ist der Bias meines Messsystems über den ganzen Messbereich gleich — und idealerweise null?**
Ein Messsystem kann an einem Punkt sehr genau sein, aber am Anfang des Messbereichs nach oben und am Ende nach unten abweichen (oder umgekehrt). Diese veränderliche Abweichung heißt **Linearitätsfehler** und wird grafisch als Steigung der Bias-Geraden sichtbar.
### Wann wird Verfahren 4 eingesetzt?
- Bei der **Erstqualifizierung** eines Messsystems über einen größeren Messbereich (z. B. PPAP)
- Wenn das Merkmal über einen **weiten Wertebereich** gemessen wird
- Wenn der Verdacht besteht, dass der **Bias wertabhängig** ist
- Nach **Kalibrierung/Reparatur**, um die Linearität zu bestätigen
> **Info:** Verfahren 4 setzt voraus, dass die Wiederholpräzision (Repeatability) bereits akzeptabel ist. Deshalb prüft my8data zusätzlich je Normal die Cg/Cgk-Werte (Teil „min"). Ist die Wiederholpräzision schlecht, ist die Bias-/Linearitätsaussage nicht belastbar.
### Typischer Ablauf
1. **g ≥ 5** Normale auswählen, die den Messbereich gleichmäßig abdecken (Validierungssperre ab g < 3)
2. Referenzwert jedes Normals durch übergeordnete Messung (Layout-Inspektion) bestimmen
3. Jedes Normal **m ≥ 10** mal durch einen normalen Bediener messen (Bosch-Beispiel: m = 12)
4. Messwerte in my8data eingeben (eine Zeile pro Normal)
5. Berechnung durchführen und Diagramm + Kennwerte bewerten
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## Eingabe
Die Eingabe erfolgt zeilenweise — **je Normal eine Zeile**:
| Spalte | Inhalt |
|--------|--------|
| 1 (x_Ref) | Referenzwert des Normals |
| 2 … N | Einzelmesswerte dieses Normals (m Wiederholungen) |
Zusätzlich werden im Kopf benötigt:
| Feld | Bedeutung |
|------|-----------|
| **OSG / USG** | Obere/untere Spezifikationsgrenze → Toleranz **T = OSG − USG** |
| **k-Faktor** | Streubreitenfaktor für Cg/Cgk (Standard: 6) |
| **Forderung Cg/Cgk** | Mindestanforderung je Normal (Standard: 1,33) |
| **Vertrauensniveau** | Für die t-Tests (Standard: 95 %, entspricht α = 0,05) |
> **Warnung:** Bei weniger als 25 Messwerten je Normal erscheint ein Hinweis: Die „min"-Bewertung (Verfahren 1) ist laut Bosch Heft 10 erst ab m ≥ 25 voll bestandskräftig. Bei weniger als 5 Normalen weist my8data darauf hin, dass Bosch E.1 g ≥ 5 empfiehlt.
> **Tipp:** Als Standard-Datensatz ist das **Original-Linearitätsbeispiel der AIAG MSA 4th Edition** (Tabelle III-B 4, S. 99) hinterlegt. So können Sie die Berechnung direkt gegen das Handbuch nachvollziehen.
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## Kennwerte und Bewertung
my8data bildet zwei Teilurteile und verknüpft sie mit **UND**:
### Teil „min" — Verfahren 1 je Normal
Für jedes Normal werden Cg und Cgk berechnet (wie in MSA 1):
```
Cg = (0,2 · T) / (k · s)
Cgk = (0,1 · T − |Bias|) / (0,5 · k · s)
```
- **s** = Standardabweichung der m Messungen des Normals
- **Bias** = x̄ − Referenzwert
- Bestanden, wenn **Cg ≥ 1,33 und Cgk ≥ 1,33** für **alle** Normale
### Teil „t-T" — Regression der Abweichungen
Über die Bias-Werte aller Normale wird eine Ausgleichsgerade gelegt. Steigung und Achsenabschnitt dürfen **nicht signifikant von null abweichen**:
- **Steigung a ≈ 0** → der Bias ist über den Messbereich konstant (kein Linearitätsfehler)
- **Achsenabschnitt b ≈ 0** → dieser konstante Bias ist auch tatsächlich null
Beide t-Werte müssen den kritischen t-Wert unterschreiten (siehe [Herleitung](#herleitung)).
### Gesamturteil
| Teil „min" | Teil „t-T" | Linearität |
|-----------|-----------|------------|
| bestanden | bestanden | **nachgewiesen** |
| nicht best. | beliebig | nicht nachgewiesen |
| beliebig | nicht best. | nicht nachgewiesen |
> **Wichtig:** Das **primäre** AIAG-Kriterium ist grafisch: Die „Bias = 0"-Linie muss vollständig innerhalb des Vertrauensbands der Ausgleichsgeraden liegen. Die t-Tests sind die numerische Bestätigung dieses Befunds.
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## Herleitung und Vergleich mit dem AIAG-Handbuch
Dieser Abschnitt dokumentiert die vollständige Herleitung des Regressionsteils („t-T") und vergleicht sie mit dem **AIAG MSA 4th Edition, Kapitel III, Abschnitt B, „Guidelines for Determining Linearity" (S. 96–101)**.
### 1. Datenbasis und Bias
Für g Normale mit je m Messungen wird zu jeder Einzelmessung der **vorzeichenbehaftete Bias** gebildet (AIAG-Schritt 4, S. 96):
```
bias_ij = x_ij − Referenzwert_i
```
- **x_ij** = j-te Messung am Normal i
- **Referenzwert_i** = bekannter Referenzwert des Normals i
> **Info:** Wichtiger Punkt der Herleitung: Die Ausgleichsgerade wird **nicht** über die g Bias-Mittelwerte gelegt, sondern über **alle gm Einzel-Bias-Werte**. Im AIAG-Steigungsterm steht deshalb der Nenner `gm` (= Gesamtzahl der Einzelmessungen). my8data rechnet exakt so: x = Referenzwert (m-fach wiederholt), y = Einzel-Bias.
### 2. Ausgleichsgerade
Für die Gerade `y = a·x + b` gelten (AIAG S. 96–97):
```
Σ(x_i·y_i) − (Σx_i · Σy_i) / gm
a = ───────────────────────────────── (Steigung)
Σ(x_i²) − (Σx_i)² / gm
b = ȳ − a · x̄ (Achsenabschnitt = Bias bei x = 0)
```
Die Summen laufen über **alle gm Wertepaare**.
### 3. Reststreuung (Repeatability)
Die Standardabweichung um die Gerade (AIAG S. 97):
```
Σ( y_i − (b + a·x_i) )²
s = √ ───────────────────────────
gm − 2
```
Diese Reststreuung `s` dient zugleich als Schätzung der Repeatability für die %EV-Betrachtung (AIAG-Schritt 7).
### 4. Hypothesentests (numerische Bewertung)
AIAG-Schritt 9 (S. 98) prüft zwei Nullhypothesen mit dem t-Test. Mit `Sxx = Σ(x_i − x̄)²`:
```
H0: a = 0 (Steigung) t_a = |a| · √Sxx / s
H0: b = 0 (Achsenabschnitt) t_b = |b| / ( s · √( 1/gm + x̄²/Sxx ) )
```
Beide werden gegen den **zweiseitigen** kritischen Wert mit `gm − 2` Freiheitsgraden geprüft:
```
t_krit = t( gm−2 ; 1 − α/2 ) (Standard α = 0,05)
```
Die Linearität ist numerisch akzeptabel, wenn **t_a ≤ t_krit UND t_b ≤ t_krit** (keine der Hypothesen wird verworfen).
> **Info:** my8data berechnet den Standardfehler des Achsenabschnitts als `s·√(Σx²/(gm·Sxx))`. Das ist algebraisch identisch zur AIAG-Form `s·√(1/gm + x̄²/Sxx)`, weil `Σx² = Sxx + gm·x̄²`.
### 5. Vertrauensband
Für jeden Wert x₀ (AIAG S. 97):
```
ŷ(x₀) ± t( gm−2 ; 1−α/2 ) · s · √( 1/gm + (x₀ − x̄)² / Sxx )
```
Liegt die „Bias = 0"-Linie vollständig innerhalb dieses Bands, ist die Linearität (grafisch) akzeptabel.
### 6. Validierung gegen das AIAG-Originalbeispiel
Das AIAG-Handbuch rechnet sein Beispiel (Tabelle III-B 4, S. 99: 5 Normale × 12 Messungen, Referenzwerte 2/4/6/8/10) vollständig durch. my8data reproduziert die abgedruckten Ergebnisse **ziffergenau**:
| Größe | my8data | AIAG-Manual (S. 100/101) |
|-------|---------|--------------------------|
| Steigung a | −0,131667 | −0,131667 |
| Achsenabschnitt b | 0,736667 | 0,736667 |
| Bestimmtheitsmaß R² | 71,4 % | 71,4 % |
| t-Wert Steigung t_a | 12,043 | 12,043 |
| t-Wert Achsenabschnitt t_b | 10,158 | 10,158 |
| t_krit (58 FG; 0,975) | 2,00172 | 2,00172 |
Da t_a = 12,043 > t_krit = 2,00172, wird die Hypothese „Steigung = 0" verworfen → **Linearitätsproblem**. Dies ist exakt die Schlussfolgerung des Handbuchs („there is a linearity problem with this measurement system").
Das Diagramm zeigt den Befund grafisch: Die Regressionsgerade (rot) fällt deutlich ab, und die waagerechte „Bias = 0"-Linie (schwarz) liegt **nicht** vollständig innerhalb des Vertrauensbands (orange gestrichelt) — sie schneidet es. Die Mittelwerte bei Referenzwert 4 und 10 sind rot, weil dort das Cg/Cgk-Kriterium („min") verletzt ist (Referenzwert 4 wegen der bimodalen Streuung, die das AIAG-Handbuch ausdrücklich erwähnt).
> **Tipp:** Dieses Beispiel ist als Standard-Datensatz hinterlegt. Beim Öffnen der MSA-4-Analyse können Sie die Tabelle und das Diagramm oben direkt am Ergebnis nachvollziehen.
### 7. Abweichungen und Erweiterungen gegenüber AIAG
| Punkt | AIAG MSA 4th Ed. | my8data |
|-------|------------------|---------|
| Regression / t-Tests | Kernverfahren (S. 96–98) | identisch, ziffergenau validiert |
| Repeatability-Prüfung | %EV-Betrachtung (Schritt 7) | zusätzlich Cg/Cgk je Normal (Bosch Heft 10, „min") |
| Anpassungsgüte | qualitativ über R² | zusätzlich formaler F-Test (Lack of Fit) |
| Akzeptanz | primär grafisch (Band) + t-Tests | Diagramm mit Band **und** t-Test-Urteil |
> **Info:** Die Bosch-Erweiterung („min" via Cg/Cgk) und der F-Test gehen über das AIAG-Minimum hinaus, widersprechen ihm aber nicht — sie erfüllen denselben Zweck (Repeatability-Gate bzw. Modellgüte) auf strengere, formal abgesicherte Weise.
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## Diagramm
### Linearitätsdiagramm
Das Linearitätsdiagramm zeigt:
- **Helle Punkte:** die Einzel-Bias-Werte (Abweichung jeder Messung vom Referenzwert)
- **Farbige Punkte:** die Bias-Mittelwerte je Normal — grün, wenn Cg/Cgk erfüllt, sonst rot
- **Rote Gerade:** die Ausgleichsgerade `y = a·x + b`
- **Orange gestrichelt:** das Vertrauensband (Standard 95 %)
- **Schwarze Linie:** die „Bias = 0"-Linie; gepunktet: die ± 5 % · T-Linien
So lesen Sie das Diagramm:
- Verläuft die Gerade **waagerecht auf der Nulllinie**, ist das Messsystem linear und unverzerrt.
- Liegt die **„Bias = 0"-Linie vollständig im Vertrauensband**, ist die Linearität akzeptabel.
- **Schneidet** die Nulllinie das Band (wie im AIAG-Beispiel), liegt ein Linearitätsproblem vor.
> **Wichtig:** Ein niedriges R² ist ein Warnzeichen, dass schon das lineare Modell selbst unpassend sein könnte (z. B. bei bimodalen Daten an einem Normal). In diesem Fall sollte die Ursache untersucht werden, bevor die t-Werte interpretiert werden.
### Verlaufsdiagramm (Run Chart)
Das Verlaufsdiagramm zeigt alle Einzelmesswerte in Erfassungsreihenfolge (X = laufende Wert-Nr., Y = gemessener Wert). Die gestrichelte Linie markiert den Mittelwert der Referenzwerte (x̄g). Es hilft, **zeitliche Auffälligkeiten** wie Trends, Sprünge oder Ausreißer während der Messreihe zu erkennen, die im Linearitätsdiagramm nicht sichtbar werden.