MSA 4 — Linearität (Verfahren 4)

Die MSA Methode 4 (Verfahren 4 oder Linearitätsstudie) prüft, ob die systematische Messabweichung (Bias) eines Messsystems über den gesamten Messbereich konstant bleibt. Während Verfahren 1 den Bias an einem Punkt bewertet, untersucht Verfahren 4 mehrere Referenznormale, die den Arbeitsbereich des Messgeräts abdecken.

my8data kombiniert dabei zwei in der Praxis etablierte Bewertungen: das Regressionsverfahren nach AIAG MSA (4th Edition) und die mehrfache Anwendung von Verfahren 1 nach Bosch Heft 10. Das Gesamturteil entspricht dem kombinierten Bosch-Formblatt-Urteil „(min, t-T)".

Übersicht

Zweck und Einsatzgebiet

Verfahren 4 beantwortet die Frage: Ist der Bias meines Messsystems über den ganzen Messbereich gleich — und idealerweise null?

Ein Messsystem kann an einem Punkt sehr genau sein, aber am Anfang des Messbereichs nach oben und am Ende nach unten abweichen (oder umgekehrt). Diese veränderliche Abweichung heißt Linearitätsfehler und wird grafisch als Steigung der Bias-Geraden sichtbar.

Wann wird Verfahren 4 eingesetzt?

• Bei der Erstqualifizierung eines Messsystems über einen größeren Messbereich (z. B. PPAP)
• Wenn das Merkmal über einen weiten Wertebereich gemessen wird
• Wenn der Verdacht besteht, dass der Bias wertabhängig ist
• Nach Kalibrierung/Reparatur, um die Linearität zu bestätigen

Info: Verfahren 4 setzt voraus, dass die Wiederholpräzision (Repeatability) bereits akzeptabel ist. Deshalb prüft my8data zusätzlich je Normal die Cg/Cgk-Werte (Teil „min"). Ist die Wiederholpräzision schlecht, ist die Bias-/Linearitätsaussage nicht belastbar.

Typischer Ablauf

1. g ≥ 5 Normale auswählen, die den Messbereich gleichmäßig abdecken (Validierungssperre ab g < 3)
2. Referenzwert jedes Normals durch übergeordnete Messung (Layout-Inspektion) bestimmen
3. Jedes Normal m ≥ 10 mal durch einen normalen Bediener messen (Bosch-Beispiel: m = 12)
4. Messwerte in my8data eingeben (eine Zeile pro Normal)
5. Berechnung durchführen und Diagramm + Kennwerte bewerten

Eingabe

Die Eingabe erfolgt zeilenweise — je Normal eine Zeile:

Zusätzlich werden im Kopf benötigt:

Warnung: Bei weniger als 25 Messwerten je Normal erscheint ein Hinweis: Die „min"-Bewertung (Verfahren 1) ist laut Bosch Heft 10 erst ab m ≥ 25 voll bestandskräftig. Bei weniger als 5 Normalen weist my8data darauf hin, dass Bosch E.1 g ≥ 5 empfiehlt.

Tipp: Als Standard-Datensatz ist das Original-Linearitätsbeispiel der AIAG MSA 4th Edition (Tabelle III-B 4, S. 99) hinterlegt. So können Sie die Berechnung direkt gegen das Handbuch nachvollziehen.

Kennwerte und Bewertung

my8data bildet zwei Teilurteile und verknüpft sie mit UND:

Teil „min" — Verfahren 1 je Normal

Für jedes Normal werden Cg und Cgk berechnet (wie in MSA 1):

Cg  = (0,2 · T) / (k · s)
Cgk = (0,1 · T − |Bias|) / (0,5 · k · s)

• s = Standardabweichung der m Messungen des Normals
• Bias = x̄ − Referenzwert
• Bestanden, wenn Cg ≥ 1,33 und Cgk ≥ 1,33 für alle Normale

Teil „t-T" — Regression der Abweichungen

Über die Bias-Werte aller Normale wird eine Ausgleichsgerade gelegt. Steigung und Achsenabschnitt dürfen nicht signifikant von null abweichen:

• Steigung a ≈ 0 → der Bias ist über den Messbereich konstant (kein Linearitätsfehler)
• Achsenabschnitt b ≈ 0 → dieser konstante Bias ist auch tatsächlich null

Beide t-Werte müssen den kritischen t-Wert unterschreiten (siehe Herleitung).

Gesamturteil

Wichtig: Das primäre AIAG-Kriterium ist grafisch: Die „Bias = 0"-Linie muss vollständig innerhalb des Vertrauensbands der Ausgleichsgeraden liegen. Die t-Tests sind die numerische Bestätigung dieses Befunds.

Herleitung und Vergleich mit dem AIAG-Handbuch

Dieser Abschnitt dokumentiert die vollständige Herleitung des Regressionsteils („t-T") und vergleicht sie mit dem AIAG MSA 4th Edition, Kapitel III, Abschnitt B, „Guidelines for Determining Linearity" (S. 96–101).

1. Datenbasis und Bias

Für g Normale mit je m Messungen wird zu jeder Einzelmessung der vorzeichenbehaftete Bias gebildet (AIAG-Schritt 4, S. 96):

bias_ij = x_ij − Referenzwert_i

• x_ij = j-te Messung am Normal i
• Referenzwert_i = bekannter Referenzwert des Normals i

Info: Wichtiger Punkt der Herleitung: Die Ausgleichsgerade wird nicht über die g Bias-Mittelwerte gelegt, sondern über alle gm Einzel-Bias-Werte. Im AIAG-Steigungsterm steht deshalb der Nenner gm (= Gesamtzahl der Einzelmessungen). my8data rechnet exakt so: x = Referenzwert (m-fach wiederholt), y = Einzel-Bias.

2. Ausgleichsgerade

Für die Gerade y = a·x + b gelten (AIAG S. 96–97):

       Σ(x_i·y_i) − (Σx_i · Σy_i) / gm
a  =  ─────────────────────────────────      (Steigung)
          Σ(x_i²) − (Σx_i)² / gm

b  =  ȳ − a · x̄                              (Achsenabschnitt = Bias bei x = 0)

Die Summen laufen über alle gm Wertepaare.

3. Reststreuung (Repeatability)

Die Standardabweichung um die Gerade (AIAG S. 97):

            Σ( y_i − (b + a·x_i) )²
s  =  √  ───────────────────────────
                  gm − 2

Diese Reststreuung s dient zugleich als Schätzung der Repeatability für die %EV-Betrachtung (AIAG-Schritt 7).

4. Hypothesentests (numerische Bewertung)

AIAG-Schritt 9 (S. 98) prüft zwei Nullhypothesen mit dem t-Test. Mit Sxx = Σ(x_i − x̄)²:

H0: a = 0  (Steigung)        t_a = |a| · √Sxx / s

H0: b = 0  (Achsenabschnitt) t_b = |b| / ( s · √( 1/gm + x̄²/Sxx ) )

Beide werden gegen den zweiseitigen kritischen Wert mit gm − 2 Freiheitsgraden geprüft:

t_krit = t( gm−2 ; 1 − α/2 )      (Standard α = 0,05)

Die Linearität ist numerisch akzeptabel, wenn ta ≤ tkrit UND tb ≤ tkrit (keine der Hypothesen wird verworfen).

Info: my8data berechnet den Standardfehler des Achsenabschnitts als s·√(Σx²/(gm·Sxx)). Das ist algebraisch identisch zur AIAG-Form s·√(1/gm + x̄²/Sxx), weil Σx² = Sxx + gm·x̄².

5. Vertrauensband

Für jeden Wert x₀ (AIAG S. 97):

ŷ(x₀) ± t( gm−2 ; 1−α/2 ) · s · √( 1/gm + (x₀ − x̄)² / Sxx )

Liegt die „Bias = 0"-Linie vollständig innerhalb dieses Bands, ist die Linearität (grafisch) akzeptabel.

6. Validierung gegen das AIAG-Originalbeispiel

Das AIAG-Handbuch rechnet sein Beispiel (Tabelle III-B 4, S. 99: 5 Normale × 12 Messungen, Referenzwerte 2/4/6/8/10) vollständig durch. my8data reproduziert die abgedruckten Ergebnisse ziffergenau:

Da ta = 12,043 > tkrit = 2,00172, wird die Hypothese „Steigung = 0" verworfen → Linearitätsproblem. Dies ist exakt die Schlussfolgerung des Handbuchs („there is a linearity problem with this measurement system").

Das Diagramm zeigt den Befund grafisch: Die Regressionsgerade (rot) fällt deutlich ab, und die waagerechte „Bias = 0"-Linie (schwarz) liegt nicht vollständig innerhalb des Vertrauensbands (orange gestrichelt) — sie schneidet es. Die Mittelwerte bei Referenzwert 4 und 10 sind rot, weil dort das Cg/Cgk-Kriterium („min") verletzt ist (Referenzwert 4 wegen der bimodalen Streuung, die das AIAG-Handbuch ausdrücklich erwähnt).

Tipp: Dieses Beispiel ist als Standard-Datensatz hinterlegt. Beim Öffnen der MSA-4-Analyse können Sie die Tabelle und das Diagramm oben direkt am Ergebnis nachvollziehen.

7. Abweichungen und Erweiterungen gegenüber AIAG

Info: Die Bosch-Erweiterung („min" via Cg/Cgk) und der F-Test gehen über das AIAG-Minimum hinaus, widersprechen ihm aber nicht — sie erfüllen denselben Zweck (Repeatability-Gate bzw. Modellgüte) auf strengere, formal abgesicherte Weise.

Diagramm

Linearitätsdiagramm

Das Linearitätsdiagramm zeigt:

• Helle Punkte: die Einzel-Bias-Werte (Abweichung jeder Messung vom Referenzwert)
• Farbige Punkte: die Bias-Mittelwerte je Normal — grün, wenn Cg/Cgk erfüllt, sonst rot
• Rote Gerade: die Ausgleichsgerade y = a·x + b
• Orange gestrichelt: das Vertrauensband (Standard 95 %)
• Schwarze Linie: die „Bias = 0"-Linie; gepunktet: die ± 5 % · T-Linien

So lesen Sie das Diagramm:

• Verläuft die Gerade waagerecht auf der Nulllinie, ist das Messsystem linear und unverzerrt.
• Liegt die „Bias = 0"-Linie vollständig im Vertrauensband, ist die Linearität akzeptabel.
• Schneidet die Nulllinie das Band (wie im AIAG-Beispiel), liegt ein Linearitätsproblem vor.

Wichtig: Ein niedriges R² ist ein Warnzeichen, dass schon das lineare Modell selbst unpassend sein könnte (z. B. bei bimodalen Daten an einem Normal). In diesem Fall sollte die Ursache untersucht werden, bevor die t-Werte interpretiert werden.

Verlaufsdiagramm (Run Chart)

Das Verlaufsdiagramm zeigt alle Einzelmesswerte in Erfassungsreihenfolge (X = laufende Wert-Nr., Y = gemessener Wert). Die gestrichelte Linie markiert den Mittelwert der Referenzwerte (x̄g). Es hilft, zeitliche Auffälligkeiten wie Trends, Sprünge oder Ausreißer während der Messreihe zu erkennen, die im Linearitätsdiagramm nicht sichtbar werden.